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答案應該是24個三角形

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光年為距離的表示,長度的單位,英文符號為ly,是light year的縮寫。國際天文聯會定義,光子在儒略年一年(365.25天)在自由空間中前進的距離,而這個自由空間是距離引力場或磁場無限遠的地方。光在真空中每秒前進約299,792,458公尺,一光年就等於9,460,730,472,580,800公尺,大約為94600億公里。

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三角學,對今天的中學生來說,是一個陌生的名詞。現在中學裏已沒有三角學這一專門的課程了,它的主要內容以”解三角形”和”三角函數”兩個部分,分插在中學”代數”之中。但是,在數學的發展史上,三角學卻曾經是數學的一個重要分支。即使是現在,它的主要內容還廣泛地被應用於現實生活中。三角函數,更是反映現實世界的重要方法之一,成為高等數學研究的基本對象。因此,瞭解一點三角學的產生和發展的歷史,自然是很有必要的。“三角學”,英文trigonometry,法文trigonometrie,德文Trigonometrie,都來自拉丁文 trigonometria。現代三角學一詞最初見於希臘文。最先使用trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作<<三角學:解三角學的簡明處理>>,創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角學)及μετρει υ(測量)兩字構成的,原意為三角形的測量,或者說解三角形。古希臘文裏沒有這個字,原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學,而是依附於天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候,由於墾殖和畜牧的需要,人們就開始作長途遷移;後來,貿易的發展和求知的慾望,又推動他們去長途旅行。在當時,這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林,或者經水路沿著海岸線作長途航行,無論是那種方式,都首先要明確方向。那時,人們白天拿太陽作路標,夜裏則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路,也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確方向。就這樣,最初的以太陽和星星為目標的天文觀測,以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說,三角學是緊密地同天文學相聯繫而邁出自己發展史的第一步的。三角學問題的提出三角學理論的基礎,是對三角形各元素之間相依關係的認識。一般認為,這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時,希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道,力求把天文學發展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形,因為進行天文觀測時,人與星球以及大地的位置關係,通常是以直角三角形邊角之間的關係反映出來的。在很早以前,希臘天文學家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識:星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所採用的角度來反映的(如圖一);角度(∠ABC)越大,星球距地面(AC)就越高。然而,星球的高度與人觀測的角度之間在數量上究竟怎麼樣呢?能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數學提出的第一個課題─製造弦表。所謂弦表,就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二),AC的長度與∠ABC的大小之間的對應關係。獨立三角學的產生雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究,他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現,但是嚴格地說,他們並沒有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘述的,是德國數學家雷基奧蒙坦納斯。雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數學家約翰�謬勒的筆名。他生於哥尼斯堡,年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作,並熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數學家們在三角方面的工作比較了解。1464年,他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》。在書中,他把以往散見在各種書上的三角學知識,系統地綜合了起來,成了三角學在數學上的一個分支。現代三角學的確認直到十八世紀,所有的三角量:正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割,都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段,即三角學是以幾何的面貌表現出來的,這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現代特徵,是把三角量看作為函數,即看作為是一種與角相對應的函數值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年,尤拉發表著名的《無窮小分析引論》一書,指出:”三角函數是一種函數線與圓半徑的比值”。具體地說,任意一個角的三角函數,都可以認為是以這個角的頂點為圓心,以某定長為半徑作圓,由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM後,所得的線段OP、OM、MP(即函數線)相互之間所取的比值(如圖八),sinα=MP/OP,cosα=OM/OP,tanα= MP/OM等。若令半徑為單位長,那麼所有的六個三角函數又可大為簡化。尤拉的這個定義是極其科學的,它使三角學從靜態地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來,使它有可能去反映運動和變化的過程,從而使三角學成為一門具有現代特徵的分析性學科。正如歐拉所說,引進三角函數以後,原來意義下的正弦等三角量,都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關係式也將很容易地從三角函數的定義出發直接得出。這樣,就使得從希帕克起許多數學家為之奮鬥而得出的三角關係式,有了堅實的理論依據,而且大大地豐富了。嚴格地說,這時才是三角學的真正確立。 “正弦”的由來公元五世紀到十二世紀,印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。儘管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具,是一個附屬品,但是三角學的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。三角學中”正弦”和”餘弦”的概念就是由印度數學家首先引進的,他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。我們已知道,托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表,它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同,他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應,即將AC與∠AOC對應(如圖五 ),這樣,他們造出的就不再是”全弦表”,而是”正弦表”了。印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”,是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。後來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”,阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀,阿拉伯文被轉譯成拉丁文,這個字被意譯成了”sinus”。三角學輸入我國,開始於明崇禎4年(1631年),這一年,鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》,作為曆書的一部份呈獻給朝廷,這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中,首先將sinus譯為”正半弦”,簡稱”正弦”,這就成了正弦一詞的由來。“弦表”問世根據現在的認識,弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發,去作一系列直角三角形,然後一一量出AC,A’C’,A’’C’’…之間的距離。然而,第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus,約前180~前125)不是這樣作,他採用的是在同一個固定的圓內,去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說,希帕克是靠計算,而不是靠工具量出弦長來製表的,這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳,現在我們所知關於希帕克在三角學上的成就,是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克,但事實上不少是他自己的創造。據托勒密書中記載,為了度量圓弧與弦長,他們採用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分,把它的半徑60等分,在圓周和半徑的每一等分中再等分60份,每一小份又等分為60份,這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後,羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;後來,這兩個名字演變為”minute”和”second”,成為現在角和時間的度 量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。建立了半徑與圓周的度量單位以後,希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60o弧(1/6圓周長)所對的弦長,正好是內接正六邊形的邊長,它與半徑相等,因此得出60o弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位);用同樣的方法,可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值,接著就利用現在所稱的”拖勒密定理”,來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長,以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。

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